Ch4. 随机变量的数字特征

一维随机变量的数字特征：数学期望、方差
二维随机变量的数字特征：协方差、相关系数

1. 数学期望E(X)

(1)数学期望的概念

数学期望，又称均值

1.离散型

①一维离散型随机变量X的数学期望：$EX$

$EX=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i{p}_i$

②一维离散型随机变量的函数的期望：$E[g(X)]$

$E[g(X)]=\sum _{i=1}^{\infty }g(x_i)p_i$

$E(X^2)=\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i^2{p}_i$

③二维离散型随机变量的函数的期望：$E[g(X,Y)]$

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例题1：16年08.  求E(XY)

分析：

X	0	1	2
$p$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

Y	0	1	2
$p$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{9}$

$\mathrm{E}(\mathrm{X})=1\times \frac{4}{9}+2\times \frac{1}{9}=\frac{2}{3}=\mathrm{E}(\mathrm{Y})$
$\mathrm{E}({\mathrm{X}}^2)=\frac{4}{9}+2^2\times \frac{1}{9}=\frac{8}{9}=\mathrm{E}({\mathrm{Y}}^2)$
$\mathrm{D}(\mathrm{X})=\mathrm{E}({\mathrm{X}}^2)-{\mathrm{E}}^2(\mathrm{X})=\frac{8}{9}-\frac{4}{9}=\frac{4}{9}=\mathrm{D}(\mathrm{Y})$

难点、易错点在求E(XY)
P{XY=4}=P{X=2,Y=2}=0
P{XY=2}=P{X=2,Y=1}+P{X=1,Y=2}=0
P{XY=1}=P{X=1,Y=1}=$2\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$
P{XY=0}=$1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$

XY	0	1	2	4
$p$	$\frac{7}{9}$	$\frac{2}{9}$	0	0

∴$E(XY)=\frac{2}{9}$

${\rho }_{\mathrm{XY}}=\frac{\mathrm{Cov}(\mathrm{XY})}{\sqrt{\mathrm{D}(\mathrm{X})\mathrm{D}(\mathrm{Y})}}=\frac{\mathrm{E}(\mathrm{XY})-\mathrm{E}(\mathrm{X})\cdot \mathrm{E}(\mathrm{Y})}{\sqrt{\mathrm{D}(\mathrm{X})\cdot \mathrm{D}(\mathrm{Y})}}=\frac{\frac{2}{9}-\frac{4}{9}}{\frac{4}{9}}=-\frac{1}{2}$

答案：A

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2.连续型

①一维连续型随机变量X的数学期望：$EX$

$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$

②一维连续型随机变量的函数的数学期望：$E[g(X)]$

$E(Y)=E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\mathrm{dx}$

注：
①$E(X^2)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx$

②若概率密度函数$f(x)$为偶函数，则$E(奇函数)=0$。
例如X~N(0,1)，φ(x)为偶函数，则E(X的奇函数)如E(X³)=0。

③二维连续型随机变量的函数的数学期望：$E[g(X,Y)]$

(X,Y)为连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，且${\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$绝对收敛，

则(X,Y)的数学期望为：$E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$

(2)数学期望的性质

1.线性性质：
①$EC=C$
②$E(aX+C)=aEX+C$
③$E(X\pm Y)=EX\pm EY$

2.若X,Y独立，则：
①$E(XY)=EX\cdot EY$
②$E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]\cdot E[g(Y)]$

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例题1：20年14.

分析：只要随机变量相同，其函数的概率密度仍不变。求E(XsinX)时的概率密度仍为f(x)
$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$
$E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)\mathrm{dx}$

答案：$\frac{2}{\pi }$

例题2：18年23(2)

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(3)求E(X)的三种方法

1.先用数学期望的性质，化简目标数学期望：
如$E(X+Y)=EX+EY$

2.特殊分布的数字特征：
X是否满足某一特殊分布，若满足，根据其数字特征直接得出EX

3.定义法：
若上述两项都不能再使用后，别无选择只能用定义。如连续型随机变量的数学期望为$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$

(1)定义法求解$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$时，若$xf(x)$为偶函数，则可化为两倍正区间的积分 $E(X)=2{\int }_0^{+\infty }xf(x)dx$

(2)伽马函数：${\int }_0^{+\infty }{x}^n\cdot e^{-x}dx=n!$

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例题1：24基础30讲 4.9

分析：

答案：

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2. 方差D(X)

(1)方差的定义及公式

$D(X)=E[(X-EX{)}^2]=E(X^2)-E^2(X)$

$E(X^2)=D(X)+E^2(X)$

(2)方差的性质

①$DC=0$
②$D(CX)=C^{2}DX$
③$D(aX+C)=a^{2}DX$
④$D(X\pm Y)=DX+DY\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$
⑤$D(aX\pm bY)=a^{2}DX+b^{2}DY\pm 2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$   若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0
⑥$\mathrm{Cov}(X,X)=D(X)$

补充⑦：当X,Y独立时，$D(XY)=DX\cdot DY+(EX{)}^{2}DY+(EY{)}^{2}DX$

补充⑧：当$X_1,X_2,...,X_n$相互独立且有相同的方差${\sigma }^2$时，记$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$，则$D(X_i-\overline{X})=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$

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例题1：22年8.   方差的性质

分析：注意，X与Y没说独立就是不独立，不要误选了5
X~U(0,3)，D(X)=$\frac{(3-0{)}^2}{12}=\frac{3}{4}$
Y~P(2)，D(Y)=2
D(2X-Y+1)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)=$4\times \frac{3}{4}+2-4\times (-1)$=3+2+4=9

答案：9

例题2：11年14.   $\mathrm{E}({\mathrm{X}}^2)=\mathrm{D}(\mathrm{X})+{\mathrm{E}}^2(\mathrm{X})$

分析：
∵ρ=0，∴X与Y不相关 又∵(X,Y)服从正态分布，∴X与Y独立
$\mathrm{E}(\mathrm{X}{\mathrm{Y}}^2)\stackrel{\mathrm{X}\mathrm{与}\mathrm{Y}\mathrm{独立}}{=}\mathrm{E}(\mathrm{X})\cdot \mathrm{E}({\mathrm{Y}}^2)=\mathrm{E}(\mathrm{X})\cdot [\mathrm{D}(\mathrm{Y})+{\mathrm{E}}^2(\mathrm{Y})]=\mu ({\sigma }^2+{\mu }^2)$

答案：μ(σ²+μ²)

例题3：18年23(2)

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3. 协方差Cov(X,Y)

(1)协方差定义及公式

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=\mathrm{E}(XY)-\mathrm{E}(X)\cdot \mathrm{E}(Y)$$

计算Cov(X,Y)=EXY-EX·EY时，简化计算：
①若有EX=0则EY不用算了，若有EY=0则EX不用算了。
②若E(XY)用定义发现是奇函数，则在对称区间上积分为0

(2)协方差性质

①$\mathrm{Cov}(X,C)=0$
②$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)$   【${\rho }_{XY}={\rho }_{YX}$】
③$\mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{D}(X)$       【${\rho }_{XX}=1$】
④$\mathrm{Cov}(X_1+X_2,Y)=\mathrm{Cov}(X_1,Y)+\mathrm{Cov}(X_2,Y)$
⑤$\mathrm{Cov}(aX+c,bY+d)=ab\mathrm{Cov}(X,Y)$     【Cov中，有常数可以直接抹去，系数可以直接提出来】
⑥若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0 (独立是充分不必要条件，不相关是充要条件)

1.②证明：$\mathrm{Cov}(X,X)=E(X\cdot X)-EX\cdot EX=E(X^2)-E^2(X)=\mathrm{D}(X)$
2.性质应用举例：$\mathrm{Cov}(X,-X+n)=\mathrm{Cov}(X,-X)+\mathrm{Cov}(X,n)=-\mathrm{Cov}(X,X)+0=-D(x)$

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例题1：23李林六套卷(一) 9.

分析：用协方差的性质求Cov
求Cov
①协方差的定义(公式)：Cov(XY)=E(XY)-E(X)E(Y)
②协方差的性质

答案：A

例题2:01年10.

分析：$X+Y=n，\therefore Y=-X+n$

①${\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{Cov(X,-X+n)}{\sqrt{D(X)D(-X+n)}}=\frac{-D(X)}{D(X)}$

② P { Y = − X + n } = 1 ， a = − 1 < 0 P\{Y=-X+n\}=1，a=-1<0 P{Y=−X+n}=1，a=−1<0，∴负相关，${\rho }_{XY}=-1$

答案：A

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(3)两种思路求解$Cov(f,g)$

1.先用Cov的性质：$f=\frac{3X+Y}{2},g=\frac{X-2Y}{3}$
2.先用Cov的定义，先不要代入fg：

4. 相关系数 ${\rho }_{XY}$

(1)ρ的公式

$$\rho =\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$称为随机变量X与Y的相关系数。

${\rho }_{XY}$是否为正负零，只需要看$Cov(X,Y)$是否为正负零

(2)ρ的性质

1.对称性：
①${\rho }_{XY}={\rho }_{YX}$
②${\rho }_{XX}=1$

2.有界性：
$-1\le {\rho }_{XY}\le 1$

3.正相关、负相关、不相关
P { Y = a X + b } = 1 ⇔ ∣ ρ X Y = 1 ∣ { a > 0 ， ρ = 1 ( 正相关 ) a < 0 ， ρ = − 1 ( 负相关 ) P\{Y=aX+b\}=1\Leftrightarrow |ρ_{XY}=1|\left\{\begin{aligned} a>0&，ρ=1 &(正相关)\\ a<0&，ρ=-1 &(负相关) \end{aligned}\right. P{Y=aX+b}=1⇔∣ρXY​=1∣{a>0a<0​，ρ=1，ρ=−1​(正相关)(负相关)​

P { Y = a X + b } = 0 ⇔ ρ X Y = 0 ( 不相关 ) P\{Y=aX+b\}=0\Leftrightarrow ρ_{XY}=0 \quad(不相关) P{Y=aX+b}=0⇔ρXY​=0(不相关)

${\rho }_{XY}=0$称为X与Y不相关，即 无线性相关性。
${\rho }_{XY}\ne 0$则称为X与Y相关。即 有线性相依性。

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例题1：16年8.

答案：A

例题2：01年10.

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5.独立性与不相关性

(1)含义

独立/相关	含义
不独立	有任意函数关系
独立	无任何函数关系
相关	有线性函数关系
不相关	ρXY= 0，X与Y无线性函数关系，但有可能有其他非线性函数关系

①独立，一定不相关：没有任何函数关系，自然也没有线性函数关系
②相关，一定不独立：有线性函数关系，算是X与Y有一种函数关系了，不独立。
③不相关，不一定独立：没有线性函数关系，但可能有非线性函数关系

注：仅当(X,Y)服从二维正态分布时，独立与不相关是等价的。其他时候，独立是不相关的充分条件。

(2)判定

1.相关性：用数字特征判定相关性 (5个不相关的等价条件)
\quad ①X与Y不相关
$\iff$ ②${\rho }_{XY}=0$
$\iff$ ③$Cov(X,Y)=0$
$\iff$ ④$E(XY)=EX\cdot EY$
$\iff$ ⑤$D(X\pm Y)=DX+DY$

2.独立性：用分布判断独立性，构造事件
\quad ①X与Y不独立
$\iff$ ② P { X ≤ a , Y ≤ a } ≠ P { X ≤ a } ⋅ P { Y ≤ a } P\{X≤a,Y≤a\}≠P\{X≤a\}·P\{Y≤a\} P{X≤a,Y≤a}=P{X≤a}⋅P{Y≤a}
$\iff$ ③$ョx_0,y_0$使得$F(x_0,y_0)\ne F_X(x_0)\cdot F_Y(y_0)$

联合分布≠边缘分布的乘积

3.判断顺序：
先判断相关性(Cov(x,y))，再判断独立性(看分布)

相关性与独立性的关系，详解见此篇

(3)独立性的应用

①X,Y独立，则f(X)与g(Y)也独立。

如：X,Y独立，则X²与Y²也独立，E(X²Y²)=E(X²)E(Y²)

②X,Y独立，Cov(X,Y)=0

$X_i$独立同分布，则 $Cov(X_i,X_j)=0(i\ne j)$

6.切比雪夫不等式

①距离均值偏差较大的概率是很小的： P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|≥ε\}≤\dfrac{D(X)}{ε^2} P{∣X−E(X)∣≥ε}≤ε2D(X)​
②距离均值偏差较小的概率是比较大的： P { ∣ X − E ( X ) ∣ < ε } ≥ 1 − D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|<ε\}≥1-\dfrac{D(X)}{ε^2} P{∣X−E(X)∣<ε}≥1−ε2D(X)​

①切比雪夫不等式描述的是随机变量X偏离均值一定范围的概率，给的是一个保守的概率。
例如：正态分布 X~N(μ,σ²)， P { ∣ X − μ ∣ < 2 σ } ≥ 1 − σ 2 4 σ 2 = 75 % P\{|X-μ|<2σ\}≥1-\dfrac{σ^2}{4σ^2}=75\% P{∣X−μ∣<2σ}≥1−4σ2σ2​=75%，而实际上2σ区间内的概率应为95%
②切比雪夫不等式需要求三个值：E(X)、D(X)、ε。由$|X-E(X)|$得出ε大小

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例题1：01年5.   切比雪夫不等式

分析：
由切比雪夫不等式， P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ ε } ≤ D ( X ) ε 2 P\{|X-E(X)|≥ε\}≤\dfrac{D(X)}{ε²} P{∣X−E(X)∣≥ε}≤ε2D(X)​，得此题 $\epsilon =2,D(X)=2$
代入得 P { ∣ X − E ( X ) ∣ ≥ 2 } ≤ 2 2 2 = 1 2 P\{|X-E(X)|≥2\}≤\dfrac{2}{2²}=\dfrac{1}{2} P{∣X−E(X)∣≥2}≤222​=21​

答案：$\frac{1}{2}$

例题2：24基础30讲 4.15

分析：

答案：$\frac{1}{12}$

习题2：23李林六套卷(五)16.

分析：切比雪夫不等式需要求三个值：E(X)、D(X)、ε
由$|X-E(X)|$得出ε大小。

答案：$\frac{n}{n+1}$

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7.常见分布的数值特征

分布	分布律或概率密度	数学期望E(X)	方差D(X)
0-1分布	P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k ， k = 0 , 1 P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}，k=0,1 P{X=k}=pk(1−p)1−k，k=0,1	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$	P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k P\{X=k\}={\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} P{X=k}=Cnk​pk(1−p)n−k，$k=0,1,2,...,n$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda )$	P { X = k } = λ k k ! e − λ P\{X=k\} = \dfrac{λ^k}{k!}e^{-λ} P{X=k}=k!λk​e−λ，$k=0,1,2,...$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布 $G(p)$	P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p P{X=k}=(1−p)k−1p，$k=1,2,...$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
均匀分布 $U(a,b)$	$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a}，a<x<b\\ 0，其他\end{array}$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布 $E(\lambda )$	$f(x)=\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x}，x>0\\ 0，x\le 0\end{array}$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-{\mu }^{)}}^2}{2{\sigma }^2}}(-\infty <x<+\infty )$	$\mu$	${\sigma }^2$
卡方分布 ${\chi }^2$		$E({\chi }^2)=n$	$D({\chi }^2)=2n$

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例题1：24基础30讲 4.8

分析：

答案：

例题2：11年23.(2) 卡方分布

分析：估计量服从卡方分布，用卡方分布的数字特征来求估计量的期望与方差

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8.确定未知数的值

1.概率密度的归一性：${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$
2.对比特殊分布