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引言

在推荐系统中，Graph Embedding技术已经成为一种强大的工具，用于捕捉用户和物品之间的复杂关系。本文将介绍Graph Embedding的基本概念、原理及其在推荐系统中的应用。

什么是Graph Embedding？

Graph Embedding是一种将图中的节点映射到低维向量空间的技术。通过这种映射，图中的节点可以在向量空间中表示为密集的向量，从而方便进行各种机器学习任务，如分类、聚类和推荐。

Graph Embedding的基本原理

1. 图的表示

一个图 $G=(V,E)$由节点集合 $V$和边集合 $E$组成。在推荐系统中，节点可以表示用户或物品，边可以表示用户与物品之间的交互（如点击、购买等）。图可以是有向的或无向的，也可以是加权的（例如，边权重表示交互的强度）。

2. 目标函数

Graph Embedding的目标是学习一个映射函数 $f:V\to {\mathbb{R}}^d$，将每个节点 $v\in V$映射到一个 $d$维的向量空间。这个映射函数通常通过优化以下目标函数来学习：

$$\underset{f}{\min }\sum _{(u,v)\in E}\mathcal{L}(f(u),f(v))$$

其中，$\mathcal{L}$是损失函数，用于衡量节点 $u$和 $v$在向量空间中的相似性。常见的损失函数包括：

• 负对数似然损失：
  $$\mathcal{L}(f(u),f(v))=-\log \sigma (f(u{)}^{T}f(v))$$
  其中，$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$是sigmoid函数。

• 欧氏距离损失：
  $$\mathcal{L}(f(u),f(v))=\Vert f(u)-f(v){\Vert }_2^2$$

目标函数的核心思想是：如果两个节点在图中是相邻的（即存在边），那么它们在向量空间中的表示应该尽可能相似。

3. 常见的Graph Embedding方法

3.1 DeepWalk

DeepWalk是一种基于随机游走的Graph Embedding方法。它通过在图中进行随机游走，生成节点序列，然后使用Skip-gram模型来学习节点的向量表示。Skip-gram原理可以我前几篇Embedding生成文章

DeepWalk

给定一个起始节点 $v_i$，随机游走生成一个节点序列 $v_{i1},v_{i2},\dots ,v_{ik}$，其中每个节点 $v_{ij}$是从当前节点 $v_{i(j-1)}$的邻居中随机选择的。(如上图所示）

Skip-gram模型

Skip-gram模型的目标是最大化给定中心节点 $v_i$时，其上下文节点 $v_{i-w},\dots ,v_{i+w}$的条件概率。目标函数为：

$$\underset{f}{\min }-\log P(v_{i-w},\dots ,v_{i+w}\mid f(v_i))$$

具体地，Skip-gram模型使用softmax函数来计算条件概率：

$$P(v_j\mid v_i)=\frac{\exp (f(v_j{)}^{T}f(v_i))}{{\sum }_{v_k\in V}\exp (f(v_k{)}^{T}f(v_i))}$$

由于直接计算softmax的分母计算量较大，通常采用负采样（Negative Sampling）来近似计算。负采样的目标函数为：

$$\underset{f}{\min }-\log \sigma (f(v_j{)}^{T}f(v_i))-\sum _{k=1}^K{\mathbb{E}}_{v_k\sim P_n(v)}\log \sigma (-f(v_k{)}^{T}f(v_i))$$

其中，$K$是负采样数，$P_n(v)$是负采样分布。

3.2 Node2Vec

Node2Vec是对DeepWalk的改进，它引入了广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）的策略，可以更好地捕捉图的局部和全局结构。

随机游走策略

Node2Vec的随机游走策略由两个参数控制，以使Embedding结果倾向于同质化（距离相近节点Embedding相似）或结构性（结构上相似节点Embedding应相似）：

• 返回参数 $p$：控制游走返回到前一个节点的概率。
• 进出参数 $q$：控制游走远离前一个节点的概率。

具体地，Node2Vec的随机游走概率定义为：

$$P(v_j\mid v_i)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p}& \text{if }{d}_{ij}=0\\ 1& \text{if }{d}_{ij}=1\\ \frac{1}{q}& \text{if }{d}_{ij}=2\end{array}$$

其中，$d_{ij}$是节点 $v_i$和 $v_j$之间的最短路径距离。

结构性和同质性

在node2vec算法中，通过精心调整p和q参数，可以巧妙地引导节点嵌入（Embedding）的方向，使其呈现出不同的特性。具体而言：

• 若我们对网络节点的局部特征更为关注，倾向于让相近的节点在嵌入空间中具有相似的表示，那么可通过调整参数使节点Embedding更倾向于同质性，例如上图所示的网络节点Embedding情况；

• 反之，若我们更重视网络的全局结构特征，希望结构相近的节点在嵌入空间中能够彼此靠近，即使它们在实际网络中可能相隔较远，那么就可以像下图那样，使节点Embedding更倾向于结构性。这种灵活的参数调节机制，使得node2vec算法能够根据不同的任务需求和数据特点，生成更符合需求的节点嵌入表示，为后续的图分析和机器学习任务提供了强大的特征支持。
  

目标函数

Node2Vec的目标函数与DeepWalk类似，但随机游走的策略更加灵活，能够更好地捕捉图的结构信息。目标函数为：

$$\underset{f}{\min }-\log P(v_{i-w},\dots ,v_{i+w}\mid f(v_i))$$

Graph Embedding在推荐系统中的应用

1. 用户-物品图

在推荐系统中，用户与物品之间的交互行为（如点击、购买、评分等）可以自然地建模为一个用户-物品二分图（User-Item Bipartite Graph）。该图 $G=(V,E)$ 中，节点集合 $V$ 分为两部分：用户节点 $U$ 和物品节点 $I$，边集合 $E$ 表示用户与物品之间的交互。例如，边 $(u,i)$ 表示用户 $u$ 与物品 $i$ 的交互行为，边的权重可以表示交互的强度（如点击次数或评分值）。

通过Graph Embedding技术，用户和物品可以被映射到同一个低维向量空间 ${\mathbb{R}}^d$，从而将复杂的图结构转化为稠密的向量表示。这种表示不仅保留了用户与物品之间的显式交互关系，还能够捕捉隐式的高阶关系（如用户之间的相似性或物品之间的关联性）。

2. 推荐算法

基于Graph Embedding的推荐算法通常包括以下步骤：

1. 构建用户-物品图
   根据用户与物品的交互数据构建二分图，明确节点和边的定义及其权重。

2. 学习用户和物品的向量表示
   使用Graph Embedding方法（如DeepWalk、Node2Vec等）将用户和物品映射到低维向量空间，得到向量表示 $f(u)$ 和 $f(i)$。

3. 计算相似性并生成推荐列表
   对于目标用户 $u$，计算其向量 $f(u)$ 与所有物品向量 $f(i)$ 的相似性（如余弦相似度或点积），并根据相似性得分对物品排序，生成个性化推荐列表。

3. 优势

基于Graph Embedding的推荐系统具有以下显著优势：

• 捕捉复杂关系
  Graph Embedding能够捕捉用户与物品之间的高阶相似性和隐式反馈。例如，通过随机游走或邻居聚合，可以发现用户之间或物品之间的潜在关联，从而提升推荐的准确性。

• 可扩展性
  基于Graph Embedding的方法通常具有较高的可扩展性，能够处理大规模的用户-物品交互数据。例如，GraphSAGE通过邻居采样和聚合机制，降低了计算复杂度，适用于大规模图数据。

• 灵活性
  Graph Embedding方法可以与其他推荐技术（如矩阵分解、深度学习等）结合，进一步提升推荐性能。例如，可以将Graph Embedding生成的向量作为输入特征，用于深度学习模型的训练。

• 冷启动问题的缓解
  通过捕捉用户与物品之间的高阶关系，Graph Embedding能够为冷启动用户或物品提供更合理的推荐，缓解冷启动问题。

Reference

1. 王喆《深度学习推荐系统》
2. Perozzi, B., Al-Rfou, R., & Skiena, S. (2014). DeepWalk: Online Learning of Social Representations. Stony Brook University Department of Computer Science.
3. Grover, A., & Leskovec, J. (2016). node2vec: Scalable Feature Learning for Networks. Proceedings of the 22nd ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining.