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13.数字签名

• 概述数字签名过程：
  • 密钥生成。
  • 加密（签名生成）：先哈希函数，结果 $S$ 和私钥放入数字签名算法，然后给消息加后缀。
  • 解密（验证签名）：先哈希函数，将哈希值、$S$、公钥 放入数字签名算法，得出来判断。
• 理解ElGamal数字签名方案：
  • 安全性基于离散对数困难问题。
• 理解Schnorr数字签名方案：
  • 安全性基于离散对数困难问题。
  • 算法相对简单。
  • 生成签名工作不依赖消息。
• 理解NIST数字签名方案：
  • 核心是DSA数字签名算法。
  • 先哈希计算，私钥签名，公钥验证。
  • 安全、高效。
• 比较三者异同：
  • ElGamal 和Schnorr都是基于离散对数问题，NIST基于椭圆曲线算法。
  • Schnorr算法签名过程简洁，性能高。
  • NIST安全性最高，Schnorr安全性次之，ElGamal的安全性依赖于随机位生成器。
  • ElGamal 和Schnorr适用于加密协议和数字签名，NIST还被用于密码学应用中。
• 理解椭圆曲线数字签名方案：
  • 基于椭圆曲线上的困难问题。
  • 以更短的密钥长度保证相同的安全性。
• 理解RSA-PSS数字签名方案：
  • 基于RSA数字签名方式，增加盐值 和填充机制。
  • 克服了传统RSA算法的安全性问题，提高了数字签名的安全性。

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13.1 数字签名概述

保证完整性和身份验证。

数字签名过程：

• 加密：
  • 用哈希函数加密消息$M$。
  • 将加密结果与Bob的私钥作为算法输入。
  • 得出结果 $S$ 放在$M$ 之后，组成签名消息。
• 解密：
  • 计算消息的哈希值。
  • 将哈希值、$S$、公钥 放入数字签名算法。
  • 根据结果判断签名有效性。

​ 性质：（认证功能体现）

• 能够验证签名者、签名日期和时间。
• 能够认证消息内容。
• 签名应由第三方仲裁。

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13.2 ElGamal数字签名算法

地位仅次于RSA。

建立在离散对数的困难问题基础上。

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算法过程：

选取素数 $q$ .

• 密钥产生：
  • 选取小于 $q$ 的两个随机数 $\alpha ,X_A$ 。
  • 计算$Y_A={\alpha }^{X_A}\mathrm{mod}q$
  • 私钥：$X_A$ 公钥： { q , α , Y A } \{q,\alpha,Y_{A}\} {q,α,YA​}
• 加密过程：
  • 选取与 $q -1 $ 互素的整数 $K$ 。
  • $C_1={\alpha }^k\mathrm{mod}q$.
  • $C_2=(H(m)-x\ast C_1)\ast k^{-1}\mathrm{mod}(q-1)$.
  • $(C_1,C_2)$ 为签名，$m$ 为消息。
• 验证过程：
  • $Y_A^{C_1}\ast C_1^{C_2}={\alpha }^{H(m)}\mathrm{mod}q$

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13.3 Schnorr数字签名算法

基于离散对数的困难问题。

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算法过程：

• 密钥生成：

  • 选取 $p,q$ ，使得 $q$ 是 $p-1$ 的一个素因子。
  • 选择整数 $a$ ，使得 $a^q\equiv 1\mathrm{mod}p$ 。
  • 全局公钥：$(a,p,q)$
  • 用户私钥：随机选择 $S\in (0.q)$。
  • 用户公钥：$v=a^{-S}\mathrm{mod}p$ 。

• 用户签名：

  • 选择消息 $r\in (0,q)$ , 生成 $x=a^r\mathrm{mod}p$ 。
  • 用哈希函数计算 $e=H(M||x)$ 。
  • 计算 $y=(r+se)\mathrm{mod}q$。
  • 签名：$(e,y)$ 。

• 验证：

  • 计算 $x^{’}=a^y{v}^e\mathrm{mod}p$ 。
  • 验证 $e=H(M||x^{{}^{\prime }})$ 。

13.4 NIST数字签名

13.4.1 DSA方法

安全性基于离散对数问题。

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DSA签名方案的主要步骤如下：

• 用发送者的私钥生成签名：
  • 随机选择一个数k，并计算 $r=(g^k(\mathrm{mod}p))(\mathrm{mod}q)$，其中g是模p的一个原根，p和q是两个大质数。
  • 计算 $s=k^{-1}(H(m)+xr)(\mathrm{mod}q)$，x是发送者的私钥。
  • 签名为 $(r,s)$。
• 用发送者的公钥和签名验证消息：
  • 计算 $w=s^{-1}(\mathrm{mod}q)$ 。
  • 计算 $u_1=H(m)w(\mathrm{mod}q)$ 和 $u_2=rw(\mathrm{mod}q)$。
• 验证签名：
  • 计算 $v=((g^{u_1}{x}^{u_2}(\mathrm{mod}p))(\mathrm{mod}q))$。
  • 如果 $v=r$，则消息m是合法的。

w \pmod{q}$ 和 $u_2=rw(\mathrm{mod}q)$。

• 验证签名：
  • 计算 $v=((g^{u_1}{x}^{u_2}(\mathrm{mod}p))(\mathrm{mod}q))$。
  • 如果 $v=r$，则消息m是合法的。