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题目描述
对于所有点数为 nnn 的树，如果其满足 对于所有 i∈[2,n]i\in [2,n]i∈[2,n]，与 iii 相连的 jjj 中有且只有一个点 jjj 满足 j<ij<ij<i ，那么我们称其为好树
对于 1∼n1\sim n1∼n 每个点求出来有多少好树满足重心为 iii
这里重心定义为删去这个点后形成的所有连通块大小均小于 n−12\frac{n-1}22n−1
数据范围 3≤n≤2×1053\le n\le 2\times 10^53≤n≤2×105 且 nnn 为奇数（所以不存在树有多个重心的情况）
题解
设m=n+12m=\frac{n+1}{2}m=2n+1，fif_ifi表示iii的子树大小≥m\ge m≥m的方案数
枚举iii的子树大小jjj，则有式子
fi=(i−1)∑j=mn−i+1(n−ij−1)(j−1)!(n−j−1)!f_i=(i-1)\sum_{j=m}^{n-i+1}\binom{n-i}{j-1}(j-1)!(n-j-1)!fi=(i−1)j=m∑n−i+1(j−1n−i)(j−1)!(n−j−1)!
前面的i−1i-1i−1是钦定iii的父亲，组合数是从iii后面的点中选出属于iii子树的点，两个阶乘是为了计算两个点集连成树的方案数
=(i−1)∑j=mn−i+1(n−i)!(j−1)!(n−i−j+1)!(j−1)!(n−j−1)!=(i-1)\sum_{j=m}^{n-i+1}\frac{(n-i)!}{(j-1)!(n-i-j+1)!}(j-1)!(n-j-1)!=(i−1)j=m∑n−i+1(j−1)!(n−i−j+1)!(n−i)!(j−1)!(n−j−1)!
=(i−1)(n−i)!∑j=mn−i+1(n−j−1)!(n−i−j+1)!=(i-1)(n-i)!\sum_{j=m}^{n-i+1}\frac{(n-j-1)!}{(n-i-j+1)!}=(i−1)(n−i)!j=m∑n−i+1(n−i−j+1)!(n−j−1)!
=(n−i)!(i−1)!∑j=mn−i+1(n−j−1)!(n−i−j+1)!(i−2)!=(n-i)!(i-1)!\sum_{j=m}^{n-i+1}\frac{(n-j-1)!}{(n-i-j+1)!(i-2)!}=(n−i)!(i−1)!j=m∑n−i+1(n−i−j+1)!(i−2)!(n−j−1)!
=(n−i)!(i−1)!∑j=mn−i+1(n−j−1i−2)=(n-i)!(i-1)!\sum_{j=m}^{n-i+1}\binom{n-j-1}{i-2}=(n−i)!(i−1)!j=m∑n−i+1(i−2n−j−1)
=(n−i)!(i−1)!∑k=i−2n−m−1(ki−2)=(n-i)!(i-1)!\sum_{k=i-2}^{n-m-1}\binom{k}{i-2}=(n−i)!(i−1)!k=i−2∑n−m−1(i−2k)
=(n−i)!(i−1)!(n−mi−1)=(n-i)!(i-1)!\binom{n-m}{i-1}=(n−i)!(i−1)!(i−1n−m)
于是fif_ifi可以O(n)O(n)O(n)计算，考虑容斥求出ansians_iansi表示以iii为重心的方案数，枚举它的儿子jjj子树大小≥m\ge m≥m，显然对于jjj来说父亲为哪个方案数都是一样的，所以以iii为父亲的方案数就是fjj−1\frac{f_j}{j-1}j−1fj，即答案为ansi=fi−∑j=i+1fjj−1ans_i=f_i-\sum_{j=i+1}\frac{f_j}{j-1}ansi=fi−∑j=i+1j−1fj
code\text{code}code
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll a,ll b)
{if(b==0) return 1;ll tmp=ksm(a,b>>1);if(b&1) return tmp*tmp%mod*a%mod;else return tmp*tmp%mod;
}
const int N=2e5+1000;
int n;
ll f[N+10],fac[N+10],inv[N+10];
ll C(int n,int m){if(m>n) return 0;return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int main()
{scanf("%d",&n);fac[0]=inv[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod,inv[i]=ksm(fac[i],mod-2);f[1]=fac[n-1];int m=n+1>>1;for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=fac[i-1]*fac[n-i]%mod*C(n-m,i-1)%mod;ll res=0;for(int i=n;i>=1;i--){ll tmp=f[i];f[i]=(f[i]+mod-res)%mod;res+=tmp*ksm(i-1,mod-2)%mod,res%=mod;}for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",f[i]);puts("");return 0;
}