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0. 引言
前几天分几篇博文精细地讲述了《von Mises-Fisher 分布》, 以及相应的 PyTorch 实现《von Mises-Fisher Distribution (代码解析)》, 其中以 Uniform 分布为例简要介绍了 torch.distributions 包的用法. 本以为已经可以了, 但这两天看到论文 The Power Spherical distribution 的代码, 又被其实现分布的方式所吸引.
Power Spherical 分布与 von Mises Fisher 分布类似, 只不过将后者概率密度函数中的指数函数换成了多项式函数: f p ( x ; μ , κ ) ∝ e x p ( κ μ ⊺ x ) ⇓ f p ( x ; μ , κ ) ∝ ( 1 + μ ⊺ x ) κ \begin{aligned} f_p(\bm{x}; \bm{\mu}, \kappa) &\propto exp(\kappa \bm{\mu}^\intercal \bm{x}) \\ &\Downarrow\\ f_p(\bm{x}; \bm{\mu}, \kappa) &\propto (1+\bm{\mu}^\intercal \bm{x})^\kappa \\ \end{aligned} fp(x;μ,κ)fp(x;μ,κ)∝exp(κμ⊺x)⇓∝(1+μ⊺x)κ 采样框架基本一致, 且这么做可以使边缘 t t t 的线性变换 t + 1 2 ∼ B e t a ( p − 1 2 + κ , p − 1 2 ) \frac{t+1}{2} \sim Beta(\frac{p-1}{2}+\kappa, \frac{p-1}{2}) 2t+1∼Beta(2p−1+κ,2p−1), 从而避免了接受-拒绝采样过程.
当然, 按照之前的 VonMisesFisher 的写法, 这个 t 的采样大概是这样:
z = beta.sample(sample_shape)
t = 2 * z - 1
但现在我遇到了这种写法:
class MarginalTDistribution(tds.TransformedDistribution):arg_constraints = {'dim': constraints.positive_integer,'scale': constraints.positive,}has_rsample = Truedef __init__(self, dim, scale, validate_args=None):self.dim = dimself.scale = scalesuper().__init__(tds.Beta( # 用 Beta 分布转换, z 服从 Beta(α+κ,β)(dim - 1) / 2 + scale, (dim - 1) / 2, validate_args=validate_args),transforms=tds.AffineTransform(loc=-1, scale=2), # t=2z-1 是想要的边缘分布随机数)
然后就可以进行对 t t t 的采样了.
我们可以看到其基本架构, 本文将详细解析其内部的具体细节.