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矩阵分解在推荐系统中的地位非常崇高。它既有协同过滤的血统，又有机器学习的基因，可以说是非常优秀了；但即便如此，传统的矩阵分解无论是在处理显式反馈，还是 处理隐式反馈都让人颇有微词，这一点是为什么呢？

矩阵分解的不足

前面讲过的两种矩阵分解，本质都是在预测用户对一个物品的偏好程度，哪怕不是预测评分，只是预测隐式反馈，也是这个事实。
得到矩阵分解结果后，常常在实际使用时，又是用这个预测结果来排序。原来的目标是让模型的预测误差最小化，到最后还是只想要一个好点的排序。

这种针对单个用户对单个物品的偏好程度进行预测，得到结果后再排序的问题，在排序学习中的叫做：point-wise,其中point意思就是：只单独考虑每个物品，每个物品 像是空间中孤立的点一样。与之相对应的，还有直接预测物品两两之间相对排序的问题，叫做pair-wise ，pair顾名思义就是成对成双。

前面将的矩阵分解都属于point-wise模型。这类模型的尴尬是：只能收集到正样本，没有负样本，于是认为缺失值就是负样本，再以预测误差为评判标准去逼近这些样本。逼近正样本没有问题，但同时逼近的负样本只是缺失值而已，并不能确认用户到底是不喜欢还是喜欢。虽然这些模型采取了一些措施来规避这个问题，比如负样本采样，但尴尬还是存在的，为了排序而绕路也是事实。

既然如此，能不能直面问题，采用pair-wise 来看待矩阵分解呢？当然可以。实际上，更直接的推荐模型应该是：能够较好地为用户排列出更好的物品相对顺序，而非更精确的评分。

这个问题已经有专业的从业者们提出了方法：贝叶斯个性化排序，简称BPR模型。下面，我们就一探究竟。

贝叶斯个性化排序

在前面的专栏文章中，已提到均方根误差，用于评价模型预测准确度的。现在要关注的是相对排序，用什么指标比较好呢？AUC,全称是Area Under Curve,意思是曲面下的面积，这里的曲线是ROC曲线。

AUC

AUC 这个值在数学上等价于：模型把关心的那一类样本排在其他样本前面的概率。最大是1，完美结果，而0.5是书籍排列，0就是完美的全部排错。

这个非常适合来评价模型的排序效果，比如说，得到一个推荐模型后，按照它计算的分数，能不能把用户真正想消费的物品排在前面。这个模型上线前是可以用日志完全计算出来的。

AUC 怎么计算呢？一般步骤如下：
1、用模型给样本计算推荐分，比如样本都是用户和物品这样一对一对的，同时还包含了有无反馈的标识；
2、得到打过分的样本，每条样本保留两个信息，第一个是分数，第二个是0或者1,1标识消费过，是正样本，0标识没有，负样本；
3、按照分数对样本重新排序，降序排列；
4、给每一个样本赋一个排序值，第一位r1=n,第二位r2=n-1,以此类推；其中要注意，如果几个样本分数一样，需要将其排序值调整为他们的平均值；
5、最终按照下面的这个公式计算就可以得到AUC值；

$$AUC=\frac{{\sum }_{i\in (样本)}{T}_i-\frac{M\ast (M+1)}{2}}{M\ast N}$$

这个公式：
第一部分：分母是我们关心的那类样本，也就是正样本，有M个，以及其他的样本有N个，这两类样本相对排序总共的可能性有M*N种；
第二部分：分子是这样计算的：第一名的排序值是r_1，它在排序上不但比过了所有的负样本，而且比过了自己以外的正样本。
正样本和正样本是同一类，所以要排查，于是就有N-M 种组合，以此类推，排序值为rm的就贡献了rm-1,把这些加起来就是分子；

关于AUC，越接近1越好是肯定的，但是并不是越接近0就越差，最差的是接近0.5，如果AUC很接近0的话，只需要把模型预测的结果加个负号就能让AUC接近1；

BPR模型，它提出了一个优化准则和学习框架，那到底BPR做了什么事情呢？主要有三点：
1.一个样本构造方法；
2.一个模型目标函数；
3.一个模型学习框架；

构造样本

前面介绍的矩阵分解，在训练时候处理的样本是：用户、物品、反馈，这样的三元组形式；

其中反馈又包含真实反馈和缺失值，缺失值充当负样本。BPR则不同，提出要关心的是物品之间对于用户的相对排序，于是构造的样本是：用户、物品1、物品2、两个物品相对排序，这样的四元组形式，其中两个物品的相对排序，取值是：

1、如果物品1是消费过的，而物品2不是，那么相对顺序取值为1，是正样本；
2、如果物品1和物品2刚好相反，则是负样本；
3、样本中不包含其他情况：物品1和物品2都是消费过的，或者都是没消费过的。

学习的顺序是反应用户偏好的相对顺序，而在使用时，面对的是所有用户还没消费过的物品，这些物品仍然可以在这样的模型下取得相对顺序，这就比三元组point-wise 样本要直观得多。

目标函数

现在，每条样本包含的是两个物品，样本预测目标是两个物品的相对排序。BPR完成矩阵分解，依然需要像交替最小二乘那样的思想。

先假设矩阵分解结果已经有了，于是计算出用户对于每个物品的推荐分数，只不过这个推荐分数可能并不满足均方根误差最小，而是满足物品相对排序最佳。

得到了用户和物品的推荐分数后，就可以计算四元组的样本中，物品1和物品2的分数差，这个分数可能是正数，也可能是负数，还可能是0；

希望的情况是：如果物品1和物品2相对排序为1，那么希望两者分数之差是个正数，而且越大越好；如果物品1和物品2的相对排序时0，则希望分数之差是负数，且越小越好；

用个符号来表示这个差:$X_{u12}$,表示的是对于用户u,物品1和物品2的矩阵分解预测分数差。然后再用sigmoid函数把这个分数差压缩到0到1之间。
$$\theta =\frac{1}{1+e^{(-X_{u12})}}$$

用这种方式预测了物品1排在物品2前面的似然概率，所以最大化交叉熵就是目标函数了。目标函数通常还要防止过拟合，加上正则项，正则项其实认为模型参数有个先验概率，这也是BPR这个名字中有’贝叶斯’的来历。BPR认为模型的先验概率符合正态分布，对应到正则化就是说L2正则。

所有样本都计算：模型参数先验概率p theta ,和似然概率的乘积，最大化这个目标函数就能够得到分解后的矩阵参数其中theta就是分解后的矩阵参数。

这个目标函数化简和变形后，和把AUC当成目标函数是非常相似的，正因为如此，BPR模型宣称该模型是为AUC而生。

训练方法

有了目标函数之后，就要有训练方法。梯度下降可以，梯度下降又分为批量梯度和随机梯度两个选择，前者收敛慢，后者训练快但不稳定。
因此BPR使用了一个介于两者之间的训练方法，结合重复抽样的梯度下降。具体如下：

1、从全量样本中有放回地随机抽取一部分样本；
2、用这部分样本，采用随机梯度下降优化目标函数，更新模型参数；
3、重复步骤1，直到满足停止条件。

这样，就得到了一个更符合推荐排序要求的矩阵分解模型了；

总结

今天是矩阵分解三篇的最后一篇，传统的矩阵分解，无论是隐式反馈还是显示反馈，都是希望更加准确地预测用户对单个物品的偏好，而实际上，如果能够预测用户对物品之间的相对偏好，则更加符合实际需求的直觉。

BPR就是这样一整套针对排序的推荐算法，它事实上提出了一个优化准则和一个学习框架，至于其中优化的对象是不是矩阵分解并不是它的重点。但我在这里结合矩阵分解对其进行了讲解，同时还介绍了排序时最常用的评价指标AUC及其计算方法。