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区间动态规划（Interval DP）是一种用于解决某些需要处理区间或子段问题的动态规划方法，特别适合于问题的解可以通过子区间的解进行组合的情况。该方法的核心思想是在子区间上进行分治，将大问题划分为较小的子问题，通过解决这些子问题来构建整个问题的解。

一、适用场景

区间 DP 主要用于解决一些涉及区间（或序列）的问题。这类问题通常要求在一个序列上做某种操作（如合并、拆分、重排等），并且这些操作的结果取决于其子区间的操作结果。常见的应用包括：

1. 石子合并问题（合并区间）。
2. 括号匹配问题。
3. 最优矩阵连乘问题。
4. 回文分割问题。

二、基本思路

区间 DP 的核心是通过枚举区间的分割点，将问题分解为两个或多个子区间的问题。解决每个子区间的问题后，再通过这些子区间的解组合得到整个区间的解。

步骤

1. 定义状态：
   • 设 dp[i][j] 表示在区间 [i, j] 上的最优解。
2. 状态转移方程：
   • 根据问题的性质，找到合适的分割方式，通常是选择一个分割点 k，将区间 [i, j] 分为 [i, k] 和 [k+1, j] 两个部分，并通过已知的子区间解来更新 dp[i][j]。
   • 一般形式的状态转移方程为：
     $$dp[i][j]=\underset{i\le k<j}{\min }(dp[i][k]+dp[k+1][j]+合并代价)$$
     其中 k 是区间的分割点，合并代价 由具体问题定义。
3. 初始状态：
   • 最小区间的解（例如，当 i == j 时，区间仅包含一个元素，通常可以直接得到最优解）。
4. 结果：
   • 最终目标是通过填充 dp 数组，找到 dp[1][n]（即整个区间 [1, n] 的最优解）。

时间复杂度：

区间 DP 的时间复杂度取决于问题的规模。对于每个区间 [i, j]，需要遍历所有的分割点 k，这通常需要三层循环，因此复杂度为 $O(n^3)$，其中 n 是序列的长度。

三、例题

Acwing：282.石子合并

这是一个经典的区间dp的问题。根据前面的描述，我们可以知道，区间dp实际上就是将整个区间问题转化成多个区间子问题，然后状态转移至整个区间。

这里所说的石子合并，就是将两个子区间合并成一个大区间。
我们将石子合并成一堆，那么在前一步一定是两堆合并而来的，那么这两堆分别又是一个子问题，实际上动态规划也是处理子问题到整个问题转移的算法。

我们可以定义$dp[i][j]$表示从初始开始编号为i + 1 ~ j + 1的石子合并成一堆的最小代价。那么必然有$dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+m[j]-m[i-1]$（其中i<=k<=j）。

我们可以发现，动态规划实际上就是带有记忆的搜素。这里我们并不知道哪个子问题合并起来才是最优的，因此我们遍历所有可能得子区间划分情况来求解。由这个递推，我们从小区间到大区间依次求值。

注意合并才有代价，单个石子代价为0。
时间复杂度：$O(N^3)$

#include<bits/stdc++.h>
using  namespace  std;
int main(void){ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int N; cin >> N;vector<int> m(N, 0);vector<vector<int>> dp(N, vector<int>(N, 0x3f3f3f3f));cin >> m[0]; dp[0][0] = 0;for(int i = 1; i < N; ++ i){cin >> m[i];m[i] += m[i - 1];dp[i][i] = 0;}for(int i = 1; i < N; ++ i){for(int j = 0; j + i < N; ++ j){int p = i + j;for(int k = j; k < p; ++ k){if(j != 0)dp[j][p] = min(dp[j][p], dp[j][k] + dp[k + 1][p] + m[p] - m[j - 1]);else dp[j][p] = min(dp[j][p], dp[j][k] + dp[k + 1][p] + m[p]);}}}cout << dp[0][N - 1];return 0;
}