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news 2025/7/3 19:57:26

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动态规划：01背包理论基础

文章链接：代码随想录
题目链接：卡码网：46. 携带研究材料

01背包问题
二维数组解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;void slove(int M, int N){vector<vector<int>> dp(M, vector<int> (N + 1));vector<int> weight(M), value(M);for (int i = 0; i < M; i++){cin >> weight[i];}for (int i = 0; i < M; i++){cin >> value[i];}for (int j = 0; j <= N; j++){if (j >= weight[0]) dp[0][j] = value[0];}for (int i = 1; i < M; i++){for (int j = 0; j <= N;  j++){if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[M - 1][N] << endl;
}int main(){int M, N;cin >> M >> N;slove(M, N);return 0;
}

思路：就是按代码随想录上的那张二维表来看，更新 j 重量下的背包能放0 - i 中多少最大价值的物品；然后一行一行的更新，更新到新物品时，要么就是在 j 重量下放不下，也就是

if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];

要么能放下就取原来或者新更新物品后背包中的最大值，也就是

else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其中，

dp[i - 1][j]

代表不放入 i 物品

dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]

代表在 j 重量下先空出weight[i]这么大的空间，然后再放如 i 物品，它可能是本来就有这么大空间，也可能是把其它一些物品拿出去后再放入的 i 物品。

一维（滚动数组）数组解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;void slove(int M, int N){vector<int> dp(N + 1, 0);vector<int> weight(M), value(M);for (int i = 0; i < M; i++){cin >> weight[i];}for (int i = 0; i < M; i++){cin >> value[i];}for (int i = 0; i < M; i++){for (int j = N; j >= weight[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[N] << endl;
}int main(){int M, N;cin >> M >> N;slove(M, N);return 0;
}

一维数组相比二维数组解法就是将每次更新都放在一行上，而且省去了初始化，所以会节省很多空间，这点在后面 leetcode 上的那题会看到比较。另外要注意在遍历重量时是倒序遍历的：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

正序遍历会引起重复，而二维数组不会重复是因为每行都用的是上一行的值来更新的。
第一天理解的时候迷迷糊糊，第二天没事时有想了一会突然茅塞顿开了哈哈哈。

416. 分割等和子集

文章链接：代码随想录
题目链接：416. 分割等和子集

思路：01背包应用问题，留足背包的容量，也就是最大总和的一半值加一，如果更新到最后在半值重量的背包中能正好装满，就说明数组可以对半分。
二维数组解法：

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for (int i : nums){sum += i;}if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int> (10001));for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j >= nums[0]) dp[0][j] = nums[0];}for (int i = 1; i < nums.size(); i++){for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j < nums[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);}}if (dp[nums.size() - 1][target] == target) return true;return false;}
};

一维（滚动）数组解法：

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for (int i : nums){sum += i;}if (sum % 2 == 1) return false;int target = sum / 2;vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int> (10001));for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j >= nums[0]) dp[0][j] = nums[0];}for (int i = 1; i < nums.size(); i++){for (int j = 0; j < 10001; j++){if (j < nums[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i]] + nums[i]);}}if (dp[nums.size() - 1][target] == target) return true;return false;}
};