[数据结构]时间复杂度与空间复杂度

如何衡量一个算法的好坏

long long Fib(int N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}  

这是一个求斐波那契数列的函数，使用递归的方法求得，虽然代码看起来很简洁，但是简洁真的就好吗？

这就是我们本节要学的时间复杂度和空间复杂度要去讨论的话题，等理解了之后再回头来看这道题。

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此**衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。**
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，理论上是不能算出来的，只有你把程序在计算机上跑一遍之后才能知道，但是每一个算法我们都要上机测试的话很麻烦，所以才有了时间复杂度这个概念。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。也就是说：

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

来看一个计算例子：

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{int count = 0;for (int i = 0; i < N ; ++ i){for (int j = 0; j < N ; ++ j){++count;}}for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count; }printf("%d ",count); 

问这个算法时间复杂度是多少？

如果从第一行来算的话，我们一共有10行代码，也就是有限次，并且由于中间有循环，所以有代码是被执行了多次，所以时间复杂度结果是：
$$F(N)=N^2+2N+10$$
这时候我们就要考虑一下了，既然时间复杂度是一个函数，这里的算法还算简单，如果是一些复杂的算法时间复杂度岂不是很复杂，所以我们有了大O的渐进表示法，N取不同值F(N)当然也是不同的，当N趋向于无穷大时，其实后面2N+10当然是可以忽略的，所以我们只保留函数的最高的那个量级即可。

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

大O阶方法表示：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

例如上面O(N²)，如果N²前面有系数的话也是可以去掉的。

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

当考虑一个算法时：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

当分情况考虑时，我们还有最好情况，平均情况，和最坏情况之分，我们计算**时间复杂度通常来讲我们是考虑最坏情况的**。

小试牛刀

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;	}printf("%d\n", count);
}  

答案：O(N)

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++ k){++count;}for (int k = 0; k < N ; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}  

答案：O(M+N)

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++ k){++count;}printf("%d\n", count);
}  

答案：O(1)

// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );

答案：O(strlen(str))

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

答案：O(N^2)

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n-1;// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号while (begin <= end){int mid = begin + ((end-begin)>>1);if (a[mid] < x)begin = mid+1;else if (a[mid] > x)end = mid-1;elsereturn mid;}return -1;
}

答案：O(logN)，logN是log以2为底N的对数。提示：要分析程序的语义，不要只数循环。

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(0 == N)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

答案：O(N)，通常递归的时间复杂度通常是递归的深度。

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{if(N < 3)return 1;return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

答案：O(2^N)

只有这个比较有难度，这个递归实际上是一个二叉树的结构

每一层的次数都是一个等比数列，求和即可得到结果。

空间复杂度

空间复杂度概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用

大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外

空间来确定。

小试牛刀

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i-1] > a[i]){Swap(&a[i-1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

答案：O(1)

因为其中只创建了3个变量，也就是常数个。

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{if(N == 0)return 1;return Fac(N-1)*N;
}

答案：O(N)

在栈上开辟了N块空间，空间复杂度是O(N)

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{if(n==0)return NULL;long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;
}

答案：O(N)

这个是有难度的，要对函数栈帧理解的比较深刻，并且知道这个递归是怎么进行的，

二叉树结构的递归调用实际上是深度优先：

只有当最左边的调用一直到底时返回才会调用右边，当函数返回时，函数的栈帧就已经销毁了，所以再次回来时，还是同一块空间，并没有额外的空间开销，

所以最终空间复杂度为O(N)