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来自JMLR的一篇论文，https://www.jmlr.org/papers/volume24/21-1441/21-1441.pdf

这篇文章试图通过分析模型权重矩阵的频谱来解释模型，并在此基础上提出了一种用于早停的频谱标准。

1，分类难度对权重矩阵谱的影响

1.1 相关研究

在最近针对深度模型的可解释性研究中，出现了一种流行的方法，即对DNNs的各种大型特征随机矩阵进行谱分析，所谓大型特征随机矩阵，就是例如反向传播算法的Hessian矩阵、不同层之间的权重矩阵以及输出特征的协方差矩阵等。这样的谱分析有助于深入了解DNNs的行为。

1.2  权重矩阵的谱的类型

权重矩阵的谱在训练的最后阶段被分类为三种类型：轻尾（LT）、块过渡期（BT）和重尾（HT）。

重尾（Heavy Tails）、轻尾（Light Tails）和块过渡（Bulk Transition）是指权重矩阵或Hessian矩阵的特征值分布的不同类型。区别如下：

1）重尾分布指的是在特征值分布的尾部存在较大概率密度，即存在一些非常大的特征值。在深度学习中，重尾可能表明权重矩阵中存在高度相关的条目，这可能导致过拟合或模型的泛化能力下降。

2）轻尾分布的特征是特征值分布的尾部概率密度较低，即特征值普遍较小，没有特别大的异常值。在深度学习中，轻尾可能表示权重矩阵的正则化较好，有助于提高模型的泛化能力。

3）块过渡是一种介于重尾和轻尾之间的状态，特征值分布的主体（块）接近Marcenko-Pastur分布，但可能存在一些异常的“尖峰”或“离群点”。这种状态可能表明模型正在从过拟合状态（重尾）过渡到更好的泛化状态（轻尾），或者是模型训练过程中的一个中间阶段。

1.3 如何计算权重矩阵的谱

对权重矩阵计算其Gram矩阵，接着求解Gram矩阵的特征值。接着将计算出的特征值按降序排列，以便于分析最大的特征值。最后，构建经验谱分布，这是一个经验分布函数，用于估计权重矩阵特征值的分布。ESD可以通过直方图或核密度估计来实现。

其中I是指示函数，当括号内的表达式为真时，I的值为1；否则为0。

1.4作者的发现

作者发现分类难度是影响权重矩阵谱中出现HT的一个重要因素。分类难度越高，HT出现的几率越大。在合成数据集和真实数据集上进行的实验都支持这一发现。特别是，降低数据集的信噪比或在高斯数据实验中增加类别数量K，都会增加分类难度，并在训练结束时产生重尾。在真实数据实验中，由于CIFAR10具有更复杂的特征和更高的分类难度，因此在CIFAR10的实验中出现重尾的情况比在MNIST的实验中更多。

2，基于权重矩阵谱的早停准则

2.1 内容

本文提出的基于谱的早停策略通过分析深度神经网络（DNN）权重矩阵的谱特性来确定训练过程中的停止时机。

步骤：

1)权重矩阵的谱分析：这涉及到计算权重矩阵的非零特征值.

2)特征值排序与检测：将这些特征值按降序排列，并使用算法自动检测特征值中的“尖峰”（spikes），即那些远离其他特征值的特征值。

3)计算谱准则值：也就是计算权重矩阵的谱与Marcenko-Pastur (MP) 定律的偏差。这涉及到构造一个直方图估计器来近似权重矩阵特征值的联合密度，并与MP定律的密度函数进行比较。

距离的定义是这样的

其中是ESD的直方图估计，公式如下

其中，，对于一个n×p的随机矩阵，其中n/p→c（c是一个正常数）。是权重矩阵元素的方差。参数 M 通常表示直方图估计中使用的“bins”或“binsize”的数量，用于将数据分成多个区间以估计概率密度函数，本文设置为。B(x) 表示的是一个函数，它将一个实数 x 映射到包含 x 的“bin”或区间。在频谱分析中，B(x)可以用于计算每个区间内的点的数量，从而估计概率密度函数或特征值分布。

而后一项是MP分布的密度函数，公式如下：

MP分布可用于描述大随机矩阵特征值的分布。MP定律与DNN的泛化能力有关。接近MP分布的谱可能意味着模型具有较好的泛化能力，而偏离MP分布可能指示过拟合或其他问题。

4)设定阈值：该值基于L1距离

5)监控训练过程：在训练过程中，对于每个训练周期，计算权重矩阵的谱准则值

6)判断停止时机：如果在连续的几个训练周期中，谱准则值超过了阈值，则认为达到早停条件。

2.2 相较于传统早停策略的优势

1)不需要测试集：传统早停依赖于对模型在测试集上的准确率或者loss的测量，而本文提出的基于谱分析的早停策略完全不需要测试集。只要分析训练集上的权重矩阵的谱就可以了

2）适应性强：因为是依靠权重矩阵的谱分析而不是测试集，所以数据类型或者数据集组成结构等影响较小

3）鲁棒性更强：实验证明，即使训练准确率还在上升，本方法依然能实现早停。