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本文主要是简单高效地讲解RSA算法的基本数学原理以及加解密的步骤，算法背景以及设计到的数学证明省略。本文主要参考wikipedia和博文《非对称加密算法–RSA加密原理》。
非对称公钥加密算法可以由下列几步实现：

1. 信息接收方产生公钥$pk$与私钥$sk$，公钥可以给任何人，私钥自己保存；
2. 信息发送方将要发送的信息$m$与公钥$pk$一起用特定的加密算法加密，即密文$c$；
3. 信息接收方接收到密文$c$，与私钥$sk$一起用特定解密算法恢复明文。

可见，以上加密算法的关键角色是公钥和私钥的生成，以及加解密算法的具体操作。RSA算法就是一种实现上述公钥加密的算法。

欧拉函数

RSA算法设计到欧拉函数相关知识，下面进行一些简单定义。对于一个整数$n$，我们用欧拉函数$\phi (n)$来表示小于$n$并与之互质的正整数。下面给出与欧拉函数相关的2条性质（证明忽略，记住就好）：

1. 如果$n$是质数，则$\phi (n)=n-1$；
2. 如果$n$可以表示成2个互质的数的乘积，即$n=p\times q$，那么$\phi (n)=\phi (p)\times \phi (q)$。

欧拉定理变型

欧拉定理为：如果$m$与$n$互质，则$m^{\phi (n)}=kn+1$，即模$n$余1。
等式两边同时取整数$l$次方，并再乘上$m$得$m^{l\phi (n)+1}=m(kn+1{)}^l=k^{{}^{\prime }}n+m$。可见，如果$m<n$，则有
$$m^{l\phi (n)+1}(modn)=m.$$显然这是一个很好地恢复原数（$m$看做是传输的信息）的算法，这也为后面RSA的算法提供了思路。

模反元素

根据欧拉定理我们知道$m\times m^{\phi (n)-1}=kn+1$，即对于互质的两个数$e$和$x$，一定存在他的一个模反元素$d$，满足$e\times d(modx)=1$。该等式重写为
$$ed=kx+1.$$注意，为了书写方便，本文中不同公式出现的符号$k$可以是任何不相等的整数。

设计一个能恢复信息$m$的算法

前面我们通过欧拉定理变型可以恢复信息$m$，结合模反元素的公式，我们有
$$m^{ed}=m^{kx+1}.$$假如我们令$x=\phi (n)$，就有
$$m^{ed}=m^{l\phi (n)+1}=kn+m.$$我们也可以将$e$和$d$分开，等价地写成
$$第一步：c=m^e(modn)$$和
$$第二步：m=c^d(modn).$$这两步就是RSA算法的加密和解密过程（$m$是信息，$e$和$n$是公钥，第一步就是加密，得到密文$c$；$d$和$n$是私钥，第二步就是解密，恢复信息$m$）。
注意，至此，我们的理论有个假设前提，那就是利用欧拉定理的时候，需要信息$m$与$n$互质，实际上$m$与$n$不互质也可以用上述公式，详细证明参考博文《RSA 算法流程及证明》。此外，还有一个限制就是$e$与$\phi (n)$互质

RSA算法流程

1. 选择两个质数$p$和$q$，算出他们的乘积$n=p\times q$，算出对应的欧拉函数$\phi (n)$（利用性质$\phi (n)=\phi (p)\times \phi (q)=(p-1)(q-1)$）。
2. 选择一个$e$，使得$e<\phi (n)$并且$e$与$\phi (n)$互质。
3. 算出$e$的一个相对于$\phi (n)$的模反元素$d$。
4. $(e,n)$为公钥，$(d,n)$为私钥，信息（明文）$m$长度小于$n$。
5. 加密：$c=m^e(modn)$；
6. 解密：$m=c^d(modn)$。