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前言

前面我们介绍了STL中的关联式容器map/set/multimap/mutiset等，我们可以发现它们的底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树自身有一些缺陷，当往二叉搜索树中插入的元素有序或者接近有序二叉搜索树就会退化为单支，其检索的时间复杂度就会退化为O(n)。因此map、set等关联式容器的底层结构是对搜索二叉树进行平衡处理的平衡二叉搜索树。
本节我们就来了解平衡搜索二叉树AVL树的相关概念。

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一、概念

普通的搜索二叉树一旦数据有序或者接近有序就会造成二叉搜索树退化为单支，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
**当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个节点的左右子树高度之差不超过1（需要对树中结点进行调整）**即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树要具有以下性质：

1. 该树如果是空树，那么它是AVL树；
2. 它的左右子树是AVL树；
3. 左右子树的高度差（命名为平衡因子）的绝对值不超过1（可以是1/0/-1）

上图的红色标识的是该结点的平衡因子（这里的平衡因子使用右子树的高度减左子树的高度计算的）。
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，那么他就是AVL树。
假设该树有n个结点，其高度应保持在$O(lo{g}_{2}n)$，搜索时间复杂度为O($lo{g}_{2}n$）。

二、AVL树结点的定义

	template<class K,class V>struct AVLnode//三叉链{pair<K, V> _kv;AVLnode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv), _bf(0), _pleft(nullptr), _pright(nullptr), _pparent(nullptr){}AVLnode<K, V>* _pleft;//左孩子AVLnode<K, V>* _pright;//右孩子AVLnode<K, V>* _pparent;//双亲结点int _bf;//平衡因子};

三、AVL树的插入

实际上，AVL树就是在二叉搜索树的基础上增加了平衡因子，因此AVL树的插入可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的插入方式插入新结点
2. 调整结点的平衡因子

		bool insert(const pair<K,V>& kv){//1.按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中node* newnode = new node(kv);node* cur = _root;if (_root == nullptr)//如果该树为空树，直接插入新节点，此时新节点是该树的根节点{_root = newnode;return true;}node* prev = nullptr;while (cur){prev = cur;if (cur->_kv.first > data){cur = cur->_pleft;}else if (cur->_kv.first < data){cur = cur->_pright;}else return false;//树中已经存在该元素，插入失败}if (prev->_kv.first > data){prev->_pleft = newnode;newnode->_pparent = prev;}else{prev->_pright = newnode;newnode->_pparent = prev;}node* pParent = prev;cur =newnode;//2.对结点的平衡因子进行更新，并检测新插入的结点是否破坏了AVL树的平衡性//调节平衡因子，在插入新结点前pparent的平衡因子有以下三种情况：-1, 0, 1//如果cur插在pparent的左边，给pparent的结点的平衡因子-1；//如果cur插在pparent的右边，给pparent的结点的平衡因子+1；//此时，pparent的平衡因子有以下三种情况，0，±1，±2//pparent平衡因子为0，说明新插入结点不影响该子树的高度，满足AVL树的性质，不再进行调整//pparent平衡因子为±1，说明插入前pparent的平衡因子为0，此时以pparent为根的子树的高度加1，需要继续向上更新平衡因子//pparent平衡因子为±2，说明插入前pparent的平衡因子为±1，此时pparent的平衡因子违反了AVL树的性质需要进行旋转操作while (pParent)//当pParent为空时，pParent就是根节点的父节点，就不需要再进行调整了{//更新父节点的平衡因子if (cur == pParent->_pleft){pParent->_bf--;}else if (cur == pParent->_pright){pParent->_bf++;}//检测更新后的平衡因子if (0 == pParent->_bf)//该子树的高度没变化，不用调整{break;}else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)//该子树的高度增加了1，因此要继续向上调整平衡因子{cur = pParent;pParent = pParent->_pparent;}//3.破坏了AVL树的平衡性，我们就要对以pparent为根的子树就地旋转处理//旋转的目的：//1)让这棵子树的左右高度差不超过1//2）旋转过程中保持它是搜索树//3）更新旋转后的平衡因子//4）让这棵树的高度与插入前保持一致（不会继续影响上层，不用继续向上调整）else if (2 == pParent->_bf || -2 == pParent->_bf){//右单旋//我的平衡因子为-1；父节点的平衡因子为-2.if (-2 == pParent->_bf && -1 == cur->_bf){RotateR(pParent);//更新平衡因子cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//左单旋else if (2 == pParent->_bf && 1 == cur->_bf){RotateL(pParent);//更新平衡因子cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//左右双旋else if (-2 == pParent->_bf && 1 == cur->_bf){node* SubR = cur->_pright;RotateL(cur);RotateR(pParent);//更新平衡因子//新增结点就是SubRif (SubR ->_bf == 0){cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//新增结点在SubR结点的左子树else if (SubR->_bf == -1){SubR->_bf = cur->_bf = 0;pParent->_bf = 1;}//新增结点在SubR结点的右子树else if (SubR->_bf == 1){SubR->_bf = pParent->_bf = 0;cur->_bf = -1;}else{assert(false);}}//右左双旋else if (2 == pParent->_bf && -1 == cur->_bf){node* SubL = cur->_pleft;RotateR(cur);RotateL(pParent);//更新平衡因子//新增结点就是SubLif (SubL->_bf == 0){cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//新增结点在SubL结点的左子树else if (SubL ->_bf == -1){SubL->_bf = pParent->_bf = 0;cur->_bf = 1;}//新增结点在SubL结点的右子树else if (SubL->_bf == 1){SubL->_bf = cur->_bf = 0;pParent->_bf = -1;}else{assert(false);}}return true;}else//如果以上的程序哪里出现问题就会直接报错{assert(false);}}return true;}private:AVLnode<T>* _root;};

四、AVL树的旋转

1.右单旋的情况以及具体操作

抽象图

先看如下的抽象图：

图中a,b,c是高度为h的子树，红色数字是插入前该节点的平衡因子。
新增结点导致要向上更新平衡因子，如果父节点的平衡因子为-2，且当前结点的平衡因子为-1时，我们就要进行右单旋。
那么如何进行右单旋呢？旋转处理之后平衡因子又是如何更新的呢？
要由具体的解决方法推出抽象的解决方法，因此下面我们具体分析当h分别为0/1/2时，我们的解决方法：

h = 0

如图，当h = 0时，在a处新增节点，按照图中步骤使用右单旋对该子树进行调整，最后更新平衡因子即可。

h = 1

如图，当h = 1时，在a结点的左右子结点任意一个位置新增节点，按照图中步骤使用右单旋对该子树进行调整，最后更新平衡因子即可。

h = 2

如图，当h = 2时，在a子树的i/j/m/n等四个位置的任意一个位置新增节点，按照图中步骤使用右单旋对该子树进行调整，最后更新平衡因子即可。
总结：根据以上三种情况我们可以得出，新增节点向上调整平衡因子的过程中，如果出现父节点的平衡因子为-2，当前结点的平衡因子为-1的情况，就以父节点为轴进行右单旋，之后更新父节点和当前结点的平衡因子为0即可。

代码实现

		//左单旋(父节点平衡因子为2，右孩子平衡因子为1）void RotateL(node* parent){node* SubR = parent->_pright;node* SubRL = SubR->_pleft;node* Grandpa = parent->_pparent;//祖父parent->_pright = SubRL;if (SubRL){SubRL->_pparent = parent;}SubR->_pleft = parent;parent->_pparent = SubR;SubR->_pparent = Grandpa;//更新祖父的孩子结点if (Grandpa == nullptr)//pParent此时是根节点{_root = SubR;//更新cur为根节点_root ->_pparent = nullptr;}else{if (parent == Grandpa->_pleft){Grandpa->_pleft = SubR;}else{Grandpa->_pright = SubR;}}}

2.左单旋的情况以及具体操作

抽象图

图中a,b,c是高度为h的子树，红色数字是插入前该节点的平衡因子。
新增结点导致要向上更新平衡因子，如果父节点的平衡因子为2，且当前结点的平衡因子为1时，我们就要进行左单旋。
左单旋与右单旋的方法类似，没有特殊情况，因此这里只介绍当h = 0时的情况：
当h = 0时，在c位置新增结点

可以看出，当父节点为2且当前结点为1时，需要以父节点为轴进行左单旋，最后更新平衡因子。

代码实现

		//右单旋(父节点平衡因子为-2，左孩子平衡因子为-1）void RotateR(node* parent){node* SubL = parent->_pleft;node* SubLR = SubL->_pright;node* Grandpa = parent->_pparent;//祖父parent->_pparent = SubL;SubL->_pright = parent;parent->_pleft = SubLR;if (SubLR)SubLR->_pparent = parent;SubL->_pparent = Grandpa;//更新祖父的孩子结点if (Grandpa == nullptr)//pParent此时是根节点{_root = SubL;SubL->_pparent = nullptr;}else{if (parent == Grandpa->_pleft){Grandpa->_pleft = SubL;}else{Grandpa->_pright = SubL;}}}

3.右左双旋的情况以及具体操作

我们设定：结点值为30的结点是parent，结点值为90的结点是pR,结点值为60的结点是pRL（起名字后方便操作）

抽象图

右左双旋的抽象图，其中a/d是高度为h的子树，b/c是高度为h-1的子树

先以pR结点为轴进行右单旋，再以parent结点为轴进行左单旋，最后更新平衡因子即可。

h = 0

h = 1

如果在b处新增结点（在60的左子树新增结点）

旋转后平衡因子的更新如下：
30结点的平衡因子为0；
60结点的平衡因子为0；
90结点的平衡因子为-1.

如果在c处新增结点（在60的右子树新增结点）

旋转后平衡因子的更新如下：
30结点的平衡因子为0；
60结点的平衡因子为0；
90结点的平衡因子为-1.

h = 2

在60的左右子树新增节点导致的旋转后的平衡因子的更新情况与h = 1时是一致的，因此只简单介绍在e处新增的情况。

3.左右双旋的情况以及具体操作

我们设定：结点值为90的结点是parent，结点值为30的结点是pL,结点值为60的结点是pLR（起名字后方便操作）

抽象图

先以pL结点为轴进行左单旋，再以parent结点为轴进行右单旋，最后更新平衡因子即可。
如果新增的节点就是60，那么旋转后的平衡因子更新如下：
30结点/60结点/90结点的平衡因子都为0；
如果新增的节点在60结点的左子树，那么旋转后的平衡因子更新如下：
30结点的平衡因子为1；
60结点的平衡因子为0；
90结点的平衡因子为0。
如果新增的节点在60结点的右子树，那么旋转后的平衡因子更新如下：
30结点的平衡因子为0；
60结点的平衡因子为0；
90结点的平衡因子为-1。
左右双旋与右左双旋类似，可以参考理解，这里就不多赘述了。

5.总结

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2/-2，有以下几种情况：

1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根节点为pR

• 当pR的平衡因子为1时，执行左单旋；
• 当pR的平衡因子为-1时，执行右左双旋。

2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根节点为pL

• 当pL的平衡因子为-1，执行右单旋；
• 当pL的平衡因子为1，执行左右双旋。

旋转结束后，原parent为根的子树高度已平衡，不需要再向上更新。

6.完整实现代码

namespace Jinger
{template<class K,class V>struct AVLnode//三叉链{pair<K, V> _kv;AVLnode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv), _bf(0), _pleft(nullptr), _pright(nullptr), _pparent(nullptr){}AVLnode<K, V>* _pleft;//左孩子AVLnode<K, V>* _pright;//右孩子AVLnode<K, V>* _pparent;//双亲结点int _bf;//平衡因子};template<class K, class V>struct AVLTree{typedef AVLnode<K, V> node;AVLTree():_root(nullptr){}//左单旋(父节点平衡因子为2，右孩子平衡因子为1）void RotateL(node* parent){node* SubR = parent->_pright;node* SubRL = SubR->_pleft;node* Grandpa = parent->_pparent;//祖父parent->_pright = SubRL;if (SubRL){SubRL->_pparent = parent;}SubR->_pleft = parent;parent->_pparent = SubR;SubR->_pparent = Grandpa;//更新祖父的孩子结点if (Grandpa == nullptr)//pParent此时是根节点{_root = SubR;//更新cur为根节点_root ->_pparent = nullptr;}else{if (parent == Grandpa->_pleft){Grandpa->_pleft = SubR;}else{Grandpa->_pright = SubR;}}}//右单旋(父节点平衡因子为-2，左孩子平衡因子为-1）void RotateR(node* parent){node* SubL = parent->_pleft;node* SubLR = SubL->_pright;node* Grandpa = parent->_pparent;//祖父parent->_pparent = SubL;SubL->_pright = parent;parent->_pleft = SubLR;if (SubLR)SubLR->_pparent = parent;SubL->_pparent = Grandpa;//更新祖父的孩子结点if (Grandpa == nullptr)//pParent此时是根节点{_root = SubL;SubL->_pparent = nullptr;}else{if (parent == Grandpa->_pleft){Grandpa->_pleft = SubL;}else{Grandpa->_pright = SubL;}}}bool insert(const pair<K,V>& kv){//1.按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中node* newnode = new node(kv);node* cur = _root;if (_root == nullptr)//如果该树为空树，直接插入新节点，此时新节点是该树的根节点{_root = newnode;return true;}node* prev = nullptr;while (cur){prev = cur;if (cur->_kv.first > kv.first){cur = cur->_pleft;}else if (cur->_kv.first < kv.first){cur = cur->_pright;}else return false;//树中已经存在该元素，插入失败}if (prev->_kv.first > kv.first){prev->_pleft = newnode;newnode->_pparent = prev;}else{prev->_pright = newnode;newnode->_pparent = prev;}node* pParent = prev;cur =newnode;//2.对结点的平衡因子进行更新，并检测新插入的结点是否破坏了AVL树的平衡性//调节平衡因子，在插入新结点前pparent的平衡因子有以下三种情况：-1, 0, 1//如果cur插在pparent的左边，给pparent的结点的平衡因子-1；//如果cur插在pparent的右边，给pparent的结点的平衡因子+1；//此时，pparent的平衡因子有以下三种情况，0，±1，±2//pparent平衡因子为0，说明新插入结点不影响该子树的高度，满足AVL树的性质，不再进行调整//pparent平衡因子为±1，说明插入前pparent的平衡因子为0，此时以pparent为根的子树的高度加1，需要继续向上更新平衡因子//pparent平衡因子为±2，说明插入前pparent的平衡因子为±1，此时pparent的平衡因子违反了AVL树的性质需要进行旋转操作while (pParent)//当pParent为空时，pParent就是根节点的父节点，就不需要再进行调整了{//更新父节点的平衡因子if (cur == pParent->_pleft){pParent->_bf--;}else if (cur == pParent->_pright){pParent->_bf++;}//检测更新后的平衡因子if (0 == pParent->_bf)//该子树的高度没变化，不用调整{break;}else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)//该子树的高度增加了1，因此要继续向上调整平衡因子{cur = pParent;pParent = pParent->_pparent;}//3.破坏了AVL树的平衡性，我们就要对以pparent为根的子树就地旋转处理//旋转的目的：//1)让这棵子树的左右高度差不超过1//2）旋转过程中保持它是搜索树//3）更新旋转后的平衡因子//4）让这棵树的高度与插入前保持一致（不会继续影响上层，不用继续向上调整）else if (2 == pParent->_bf || -2 == pParent->_bf){//右单旋//我的平衡因子为-1；父节点的平衡因子为-2.if (-2 == pParent->_bf && -1 == cur->_bf){RotateR(pParent);//更新平衡因子cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//左单旋else if (2 == pParent->_bf && 1 == cur->_bf){RotateL(pParent);//更新平衡因子cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//左右双旋else if (-2 == pParent->_bf && 1 == cur->_bf){node* SubR = cur->_pright;RotateL(cur);RotateR(pParent);//更新平衡因子//新增结点就是SubRif (SubR ->_bf == 0){cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//新增结点在SubR结点的左子树else if (SubR->_bf == -1){SubR->_bf = cur->_bf = 0;pParent->_bf = 1;}//新增结点在SubR结点的右子树else if (SubR->_bf == 1){SubR->_bf = pParent->_bf = 0;cur->_bf = -1;}else{assert(false);}}//右左双旋else if (2 == pParent->_bf && -1 == cur->_bf){node* SubL = cur->_pleft;RotateR(cur);RotateL(pParent);//更新平衡因子//新增结点就是SubLif (SubL->_bf == 0){cur->_bf = 0;pParent->_bf = 0;}//新增结点在SubL结点的左子树else if (SubL ->_bf == -1){SubL->_bf = pParent->_bf = 0;cur->_bf = 1;}//新增结点在SubL结点的右子树else if (SubL->_bf == 1){SubL->_bf = cur->_bf = 0;pParent->_bf = -1;}else{assert(false);}}return true;}else//如果以上的程序哪里出现问题就会直接报错{assert(false);}}return true;}//获取根节点node* Getroot(){return _root;}private:node* _root;};
}

7.验证

概念

AVL树是在搜索二叉树的基础上加入了平衡因子的限制，因此要验证AVL树可以分为以下两个步骤：

1. 验证其是否为搜索二叉树
2. 验证其是否为平衡树（平衡因子）

• 每个结点子树高度差的绝对值不超过1
• 判断结点中的平衡因子计算是否正确

3. 验证用例：
   一般情况（仅进行单旋）

{16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}

特殊情况（进行双旋）

{4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

主程序代码

下面是测试用的主程序代码，大家可以用它来检验AVL树实现代码的正确性：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<assert.h>
#include"AVL.h"
int _Height(Jinger::AVLnode<int,int>* pRoot)//计算树的最大高度
{if (pRoot == nullptr) return 0;return 1 + max(_Height(pRoot->_pleft), _Height(pRoot->_pright));
}
bool _IsBalanceTree(Jinger::AVLnode<int,int>* pRoot)
{// 空树也是AVL树if (nullptr == pRoot) return true;// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差int leftHeight = _Height(pRoot->_pleft);int rightHeight = _Height(pRoot->_pright);int diff = rightHeight - leftHeight;// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))return false;// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树return _IsBalanceTree(pRoot->_pleft) && _IsBalanceTree(pRoot ->_pright);
}
int main()
{Jinger::AVLTree<int,int> tree;vector<int> v{ 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15};//vector<int> v{ 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14};for (auto it : v){cout << it << "  ";tree.insert(make_pair(it,it));}int a = 0;bool ret = _IsBalanceTree(tree.Getroot());if (ret == 0) cout << "该树不是AVL树" << endl;else cout << "该树是AVL树" << endl;return 0;
}

8.性能

AVL树是一棵绝对平衡的搜索二叉树，它要求每个结点的左右子树的高度差的绝对值不超过1，这样可以保证查询时的时间复杂度（$lo{g}_2(N)$)。但是如果对AVL树做一些结构修改的操作，它的性能就会比较低下，例如，插入元素时要维护其绝对平衡的性质，旋转的次数会比较多。其中删除的效果最差，有可能让旋转一直持续到根节点。
因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，并且数据结构的个数为静态的（不会发生改变），可以考虑使用AVL树，但是如果该结构需要经常被修改AVL树就不太适合了。

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总结

以上就是今天要讲的内容，本文介绍了C++中的AVL树的相关概念。本文作者目前也是正在学习C++相关的知识，如果文章中的内容有错误或者不严谨的部分，欢迎大家在评论区指出，也欢迎大家在评论区提问、交流。
最后，如果本篇文章对你有所启发的话，希望可以多多支持作者，谢谢大家！