摘要

1139. 最大的以 1 为边界的正方形

一、以1为边界的最大正方形

1.1 动态规划

第530题需要正方形所有网格中的数字都是1，只要搞懂动态规划的原理，代码就非常简洁。而这题只要正方形4条边的网格都是1即可，中间是什么数字不用管。

这题解题思路是这样的

• 第一步先计算每个网格中横向和竖向连续1的个数。
• 第二步遍历二维网格，以每一个格子为正方形的右下角，分别找出上边和左边连续1的个数，取最小值作为正方形的边长，然后判断正方形的左边和上边长度是否都大于等于正方形边长，如果都大于等于正方形边长就更新正方形的最大边长，否则缩小正方形的边长，继续判断……。

代码比较简单，我们定义一个三维数组，其中

• dp[i][j][0]: (i,j)横向连续1的个数
• dp[i][j][1]: (i,j)竖向连续1的个数

第一步： 我们计算的时候，如果当前位置是0就跳过，只有是1的时候才计算，分别统计左边和上边（也就是横向和竖向）连续1的个数。代码比较简单，我们来看下（这里为了减少一些边界条件的判断，把dp的宽和高都增加了1）。

int m = grid.length;
int n = grid[0].length;
//dp[i][j][0]: (i,j)横向连续1的个数
//dp[i][j][1]: (i,j)竖向连续1的个数
int[][][] dp = new int[m + 1][n+1][2];
for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {//如果当前位置是0，就跳过if (grid[i - 1][j - 1] == 0)continue;//如果是1，我们就计算横向和竖向连续1的个数dp[i][j][0] = dp[i][j - 1][0] + 1;dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] + 1;}
}

第二步：找出正方形的最大边长

我们会以网格中的每一个位置为正方形的右下角，来找出正方形的边长。如下图所示，我们以橙色的位置1为正方形的右下角，分别沿着左边和上边找出他们连续1的个数，最小的作为正方形的边长。因为左边和上边连续1的个数我们在第一步的时候已经计算过，分别是dp[i][j][0]和dp[i][j][1]，也就是正方形的边长我们暂时可以认为是

其实大家已经看到了这个边长就是正方形下边和右边的长度，但是正方形的上边和左边我们还没确定，我们继续确定正方形左边和上边的长度。会有两种情况

• 一种如下图所示，就是正方形左边和上边的长度都大于curSide，我们可以认为以坐标(i,j)为右下角的正方形的最大长度就是curSide。

另一种如下图所示，正方形上边的长度是1，小于curSide。

 这种情况下是构不成正方形的，所以我们要缩小curSide的值，然后再继续判断

public int largest1BorderedSquare(int[][] grid) {int m = grid.length;int n = grid[0].length;//dp[i][j][0]: (i,j)横向连续1的个数//dp[i][j][1]: (i,j)竖向连续1的个数int[][][] dp = new int[m + 1][n + 1][2];for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {//如果当前位置是0，就跳过if (grid[i - 1][j - 1] == 0)continue;//如果是1，我们就计算横向和竖向连续1的个数dp[i][j][0] = dp[i][j - 1][0] + 1;dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][1] + 1;}}int maxSide = 0;//记录正方形的最大长度for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {//沿着当前坐标往上和往左找出最短的距离，暂时看做是正方形的边长(正方形的具体边长//还要看上边和左边的长度，所以这里要判断一下)int curSide = Math.min(dp[i][j][0], dp[i][j][1]);//如果边长小于maxSide，即使找到了也不可能再比maxSide大，所以我们没必要再找，直接跳过，if (curSide <= maxSide)continue;//curSide可以认为是正方形下边和右边的长度，我们还需要根据正方形上边和左边的长度//来确认是否满足正方形的条件for (; curSide > maxSide; curSide--) {//判断正方形的左边和上边的长度是否大于curSide，如果不大于，我们就缩小正方形//的长度curSide，然后继续判断if (dp[i][j - curSide + 1][1] >= curSide && dp[i - curSide + 1][j][0] >= curSide) {maxSide = curSide;//更短的就没必要考虑了，这里直接中断break;}}}}//返回正方形的边长return maxSide * maxSide;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m×n×min⁡(m,n))，其中 m 表示矩阵的行数，n 表示矩阵的列数。
• 空间复杂度：O(m×n)，其中 m 表示矩阵的行数，n 表示矩阵的列数。需要保存矩阵中每个位置的最长连续1的数目，需要的空间为 O(m×n)。

二、只是包含1的最大正方形

221. 最大正方形

在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。

2.1 暴力求解

由于正方形的面积等于边长的平方，因此要找到最大正方形的面积，首先需要找到最大正方形的边长，然后计算最大边长的平方即可。

暴力法是最简单直观的做法，具体做法如下：

• 遍历矩阵中的每个元素，每次遇到 1，则将该元素作为正方形的左上角；
• 确定正方形的左上角后，根据左上角所在的行和列计算可能的最大正方形的边长（正方形的范围不能超出矩阵的行数和列数），在该边长范围内寻找只包含 1 的最大正方形；
• 每次在下方新增一行以及在右方新增一列，判断新增的行和列是否满足所有元素都是 1。

package matrix;/*** @Classname 最大的正方形221* @Description TODO* @Date 2023/2/17 7:50* @Created by xjl*/
public class 最大的正方形221 {public int maximalSquare(char[][] matrix) {int maxSide=0;if (matrix==null||matrix.length==0||matrix[0].length==0){return maxSide;}int rows=matrix.length,colums=matrix[0].length;for (int i=0;i<rows;i++){for (int j=0;j<colums;j++){if (matrix[i][j]=='1'){// 遇到一个 1 作为正方形的左上角maxSide=Math.max(maxSide,1);// 计算可能的最大正方形边长 剩下的矩阵中的最大的正方形int currentMaxSide=Math.min(rows-i,colums-j);for (int k = 1; k < currentMaxSide; k++) {// 判断新增的一行一列是否均为 1boolean flag = true;// 判断是下一行和下一列是否为0 判断所有的对角线的元素 如果有存在的那就判断其他的四条边if (matrix[i + k][j + k] == '0') {break;}for (int m = 0; m < k; m++) {if (matrix[i + k][j + m] == '0' || matrix[i + m][j + k] == '0') {flag = false;break;}}if (flag) {maxSide = Math.max(maxSide, k + 1);} else {break;}}}}}int maxSquare = maxSide * maxSide;return maxSquare;}
}

2.2 动态规划求解

可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i,j) 表示以 (i,j) 为右下角，且只包含1的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含1的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算 dpdp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i,j)(i,j)，检查在矩阵中该位置的值：

• 如果该位置的值是 0，则 dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中；
• 如果该位置的值是 1，则 dp(i,j)的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的dp值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加1，状态转移方程如下：

此外，还需要考虑边界条件。如果 i 和 j 中至少有一个为0，则以位置 (i,j)为右下角的最大正方形的边长只能是 1，因此 dp(i,j)=1。

class Solution {public int maximalSquare(char[][] matrix) {int maxSide = 0;if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {return maxSide;}int rows = matrix.length, columns = matrix[0].length;int[][] dp = new int[rows][columns];for (int i = 0; i < rows; i++) {for (int j = 0; j < columns; j++) {if (matrix[i][j] == '1') {if (i == 0 || j == 0) {dp[i][j] = 1;} else {dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;}maxSide = Math.max(maxSide, dp[i][j]);}}}int maxSquare = maxSide * maxSide;return maxSquare;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)，其m 和 n是矩阵的行数和列数。需要遍历原始矩阵中的每个元素计算dp的值。
• 空间复杂度：O(mn)，其中 m和n是矩阵的行数和列数。创建了一个和原始矩阵大小相同的矩阵 dp。由于状态转移方程中的 dp(i,j)由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp值决定，因此可以使用两个一维数组进行状态转移，空间复杂度优化至O(n)。

博文参考

《leetcode》