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news 2025/7/8 12:35:03

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2 FAST APROXIMATE CONVOLUTIONS ON GRAPHS

在这一章节，我们为这种特殊的的图基础的神经网络模型f(X, A)提供理论上的支持。我们考虑一个多层的图卷积网络（GCN），它通过以下方式进行层间的传播：

$H^{(l+1)} = \sigma (\widetilde{D}^{-1/2} \widetilde{A}(\widetilde{D}^{-1/2} H^{(l)}W^{(l)}) \quad (2)$

这里， $\widetilde{A} = A+ I_{N}$ 是无向图邻接矩阵加上自己本身。 $I_{N}$ 是对称矩阵， $\widetilde{D_{ii}} = \sum _j\widetilde{A_{ij}}$ , $W^{(l)}$ 是层的训练权重矩阵。 $\sigma (.)$ 表示激活函数，例如ReLu. $H^{(l)}\in R^{N*D}$ 是 $l^{th}$ 层的激活矩阵， $H^{(0)} = X$ .在接下来中，我们将会展示，这种规则的传播方式是局部谱域滤波的一阶近似。

2.1 SPECTRAL GRAPH CONVOLUTIONS

我们考虑图上的谱域卷积：多维信号 $x\in R^N$ ，用参数 $\theta \in R^N$ 定义的傅里叶过滤器 $g_\theta =diag(\theta )$ ，i.e.:

$g_\theta * x = Ug_\theta U^{T}x, \quad (3)$

这里U是归一化的图拉普拉斯矩阵的特征向量矩阵，这里 $L = I_N - D^{-1/2}AD^{-1/2} = U \Lambda U^{T}$ ,

对角矩阵是特征值 $\Lambda$ ， $U^Tx$ 是x的图傅里叶的转换。我们可以理解 $g_\theta$ 是拉普拉斯矩阵L的特征值的函数，即 $g_\theta (\Lambda )$ 。计算公式(3)是非常繁重的计算，因为特征向量的矩阵U的乘法是 $O(N^2)$ 。并且，在大的图上计算L的特征值分解，其计算量之大以至于无法做到。为了规避在大图上特征值分解的问题， $g_{\theta }(\Lambda )$ 近似是切比雪夫多项式 $K^{th}$ 级截断 $T_k(x)$ ：

$g_\theta (\Lambda )\approx \sum_{k=0}^{K}{\theta_k}^{'}T_k(\widetilde{\Lambda }) \quad (4)$

$\widetilde{\Lambda } = \frac{2}{\lambda _{max}}\Lambda - I_N$ 。 $\lambda _{max}$ 表示L的最大特征值。 $\theta ^{'} \in R^K$ 是切比雪夫向量的系数。切比雪夫多项式递归地定义为 $T_k(x) = 2xT_{(k-1)}(x) - T_{k-2}(x)$ ，这里面 $T_0(x) = 1 , T_1(x) = x$ 。

回到我们信号x过滤器

${g_\theta}^{'} * x \approx \sum_{k=0}^{K}{\theta _k}^{'}T_k(\widetilde{L})x,\quad (5)$

这里 $\widetilde{L} = \frac{2}{\lambda_{max} }L - I_N$ ；可以轻易验证 $(U\Lambda U^{T})^k = U \Lambda ^kU^T$ 。这个表达式是K阶截断的拉普拉斯多项式近似，它依赖于中心节点周围做多K个节点的作用。公式 5的复杂度是 $O(|\varepsilon |)$ ，随着边的数量线性增长。Defferrard et al 使用K阶卷积定义了图上的卷积网络。

2.2 LAYER-WISE LINEAR MODEL

通过公式5，图卷积神经网络可以叠多个卷积层，每一层都是非线性的。现在，如果我们将层的卷积操作K=1，即图谱域拉普拉斯矩阵L的限行函数。

这种一阶的线性方式，我们仍然可以罗列多层的卷积层，这不局限于切比雪夫多项式。我直觉期望这样的模型能够对于点的度数很高的分布（例如，社交网络、引用网络、知识图谱和其他一些真实世界的数据库）的图结构起到减轻过拟合的作用。并且，对于一定的计算资源，这种一阶的layer-wise方式能够建立更深的网络。

这样一种GCN的方式，我们近似 $\lambda_{max} \approx 2$ ，训练过程中，网络的参数适应如下方式：

$g_{\theta^{'}} * x = {\theta _0}^{'}x + {\theta _1}^{'}(L- I_N)x= {\theta _0}^{'}x - {\theta _1}^{'}D^{-1/2}AD^{-1/2}x, \quad (6)$

这里2个自由参数 $\theta _0^{'}$ 和 $\theta _1^{'}$ 。这个过滤器的参数被整个网络共享。多层卷积过滤能够卷积到一个节点的第 $K$ 层邻居，k就是图神经网络卷积层的层数。

在实际中，限制参数的数量以减少计算（例如矩阵乘法）已解决过拟合的问题，这种优化可以得到如下公式 $g_\theta *x \approx \theta (I_N + D^{-1/2}AD^{-1/2})x,\quad (7)$

一个参数 $\theta =\theta _0^{'}=-\theta _1^{'}$ 。注意 $I_N + D^{-1/2}AD^{-1/2}$ 的特征值取值范围在 $[0,2]$ 。在神经网络里面叠多层这样的操作将导致数值不稳定，以及神经网络梯度的消失。为了有效缓解这个问题，我们将使用再归一化的技巧： $I_N + D^{-1/2}AD^{-1/2}->\widetilde{D}^{-1/2}\widetilde{A}\widetilde{D}^{-1/2}$ ， $\widetilde{A} = A + I_N$ 和 $\widetilde{D_{ii}} = \sum_{j}\widetilde{A_{ij}}$ 。