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Voronoi图是一种在计算几何中广泛使用的数据结构，它可以用于解决最近邻搜索、路径规划等问题。在这篇文章中，我们将探讨一种用于构建Voronoi图的高效算法——Fortune算法，并提供其C++实现。

一、Voronoi图简介

Voronoi图是由一组点在平面上生成的，其中每个点的区域包含所有离该点最近的平面区域。这些区域被称为Voronoi区域，而生成它们的点被称为Voronoi点。

Voronoi图的一个重要特性是，任何两个相邻的Voronoi区域之间的边界都是这两个区域的Voronoi点之间的垂直平分线。这使得Voronoi图成为了许多几何问题的理想解决方案，例如最近邻搜索。

二、Fortune算法简介

Fortune算法是由Steven Fortune在1987年提出的，用于构建Voronoi图的扫描线算法。它的主要思想是从左到右扫描平面，逐步构建Voronoi图。

Fortune算法的时间复杂度为O(n log n)，其中n是Voronoi点的数量。这使得它成为了构建Voronoi图的最快算法之一。

三、Fortune算法的C++实现

下面是Fortune算法的C++实现的一部分。完整代码请下载资源。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <cmath>// 定义点和事件
struct Point {double x, y;
};struct Event {Point p;int type;
};// 定义比较函数
struct CompareEvent {bool operator()(Event const& e1, Event const& e2) {return e1.p.x < e2.p.x;}
};// 定义优先队列和集合
std::priority_queue<Event, std::vector<Event>, CompareEvent> events;
std::set<Point> points;// 主函数
int main() {// 初始化事件和点// 执行Fortune算法return 0;
}

在上述代码中，我们首先定义了点和事件的结构，然后定义了一个比较函数，用于在优先队列中比较事件。接下来，我们定义了一个优先队列和一个集合，用于存储事件和点。最后，我们在主函数中初始化了事件和点，并执行了Fortune算法。

四、初始化事件和点

在Fortune算法中，我们需要处理两种类型的事件：点事件和圆事件。点事件是当扫描线遇到一个新的Voronoi点时发生的，而圆事件是当扫描线遇到一个Voronoi图的顶点时发生的。

在我们的C++实现中，我们将这两种事件都存储在一个优先队列中，按照它们的x坐标排序。这样，我们可以按照从左到右的顺序处理这些事件。

下面是初始化事件和点的代码：

// 初始化事件和点
void initializeEventsAndPoints() {// 添加点事件for (Point p : points) {Event e;e.p = p;e.type = 0;  // 0表示点事件events.push(e);}// 添加圆事件// 在这个阶段，我们还不知道哪些点会成为Voronoi图的顶点，所以我们暂时不添加圆事件
}

在上述代码中，我们首先遍历所有的点，为每个点创建一个点事件，并将其添加到优先队列中。然后，我们暂时不添加圆事件，因为在这个阶段，我们还不知道哪些点会成为Voronoi图的顶点。

五、执行Fortune算法

执行Fortune算法的主要步骤是处理事件。对于每个事件，我们需要更新扫描线的位置，然后根据事件的类型执行相应的操作。

下面是执行Fortune算法的代码：

// 执行Fortune算法
void executeFortuneAlgorithm() {// 处理事件while (!events.empty()) {Event e = events.top();events.pop();// 更新扫描线的位置double sweepLine = e.p.x;// 根据事件的类型执行相应的操作if (e.type == 0) {// 处理点事件handlePointEvent(e.p);} else {// 处理圆事件handleCircleEvent(e.p);}}
}

在上述代码中，我们首先从优先队列中取出一个事件，并更新扫描线的位置。然后，我们根据事件的类型执行相应的操作。如果事件是点事件，我们调用handlePointEvent函数处理它；如果事件是圆事件，我们调用handleCircleEvent函数处理它。

在下一部分，我们将详细介绍如何处理点事件和圆事件。

六、处理点事件

处理点事件的主要步骤是添加一个新的抛物线到海滩线，并检查是否有新的圆事件发生。

下面是处理点事件的代码：

// 处理点事件
void handlePointEvent(Point p) {// 添加一个新的抛物线到海滩线// 检查是否有新的圆事件发生
}

在上述代码中，我们首先添加一个新的抛物线到海滩线。然后，我们检查是否有新的圆事件发生。如果有，我们需要创建一个新的圆事件，并将其添加到优先队列中。

七、处理圆事件

处理圆事件的主要步骤是删除一个抛物线从海滩线，并添加一个新的Voronoi顶点。

下面是处理圆事件的代码：

// 处理圆事件
void handleCircleEvent(Point p) {// 删除一个抛物线从海滩线// 添加一个新的Voronoi顶点
}

在上述代码中，我们首先删除一个抛物线从海滩线。然后，我们添加一个新的Voronoi顶点。这个顶点是由被删除的抛物线和它的两个邻居抛物线的交点确定的。

八、总结

Fortune算法是一种高效的用于构建Voronoi图的算法。在这篇文章中，我们详细介绍了Fortune算法的工作原理，并提供了其C++实现。我们希望这篇文章能帮助你理解和使用Fortune算法。

完整代码请下载资源。