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本原多项式定义
一个 m 阶的不可约多项式 f ( x ) \large f(x) f(x)，如果 f ( x ) \large f(x) f(x) 整除 x n + 1 \large x^n+ 1 xn+1 的最小正整数 n 满足 n = 2 m − 1 \large n=2^m-1 n=2m−1 ，则该多项式是本原的。
参考定义（百度上的定义）：
设 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n \large f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn是唯一分解整环 D D D上的多项式，如果 gcd ( a 0 + a 1 + ⋯ + a n ) = 1 \gcd (a_0+a_1+\cdots+a_n)=1 gcd(a0+a1+⋯+an)=1 ，则称 f ( x ) \large f(x) f(x)为 D D D上的一个本原多项式 。（符号 gcd ( ) \gcd() gcd()表示最大公约数）
本原多项式满足以下条件：
- f ( x ) \large f(x) f(x)是既约的，即不能再分解因式；
- f ( x ) \large f(x) f(x)可整除 x m + 1 \large x^m+1 xm+1，这里的 m = 2 n − 1 \large m=2^n-1 m=2n−1 ；
- f ( x ) \large f(x) f(x)不能整除 x q + 1 \large x^q+1 xq+1，这里 q < m \large q<m q<m 。
那么什么是上面说的整除呢？
先插一个百度上查到的一个本原多项式表的图（应该是 GF（2）上的本原多项式）
以第一个阶为 2 的本原多项式为例 f ( x ) = x 2 + x + 1 f(x)=x^2+x+1 f(x)=x2+x+1 ：
我们可以得到
x 0 = 1 x 1 = x x 2 = x + 1 x 3 = x 0 = 1 x^0=1\\ x^1 = x \\ x^2 = x+1 \\ x^3 = x^0=1 \\ x0=1x1=xx2=x+1x3=x0=1
所以 n = 3 n=3 n=3 时 f ( x ) f(x) f(x) 整除 x n + 1 ( x 3 + 1 = 1 + 1 = 0 ) x^n+1 \space\space\space(x^3+1=1+1=0) xn+1 (x3+1=1+1=0)
且 3 = 2 2 − 1 3 = 2^2-1 3=22−1 并不存在任意正整数 q < 3 q<3 q<3 使得 f ( x ) f(x) f(x) 整除 x n + 1 x^n+1 xn+1 。
以上为我个人理解